弾性波はスピンを持つことができますか?

スピンとは物理学の中核概念の一つであり、スピンに関する研究は私たちにとって素晴らしい量子の世界を切り開きます。興味深いことに、スピン角運動量は量子系だけでなく古典波動系にも存在します。長い間、弾性縦波（流体中の音波など）には伝播方向に対して垂直な偏光がないため、円偏光の横波（電磁波など）のみがスピンを持つと考えられてきました。本当にそうなのでしょうか？この記事では弾性波スピンの探究について紹介します。

著者 |若い

1 はじめに: 角運動量から始める

誰もがコマで遊んだことがあると思いますし、コマの楽しさも知っています。コマは速く回るほど、落ちにくくなります。落下しようとすると、重力の作用で直接落下するのではなく、曲がったまま回転を続けます。これは、ジャイロスコープが速く回転するほど、回転軸に沿った角運動量が大きくなり、ジャイロスコープの回転軸の方向を変えるのが難しくなるためです。ジャイロスコープのこれらの特性は、角運動量保存則という 1 つの法則にまとめることができます。

現在、ジャイロスコープにちなんで名付けられた角速度センサーは、さまざまなシナリオで広く使用されています。携帯電話のような大衆向け製品であれ、衛星のような人類の探査の最前線であれ、姿勢や方向を感知するためにジャイロスコープが利用されています。おもちゃのジャイロスコープとは構造が大きく異なりますが、その中核機能は、角運動量保存の基本的な物理法則を利用することで実現されています。角運動量に関する研究は基礎研究や科学技術の発展に欠かせないものと言えます。

さまざまな物理システムの研究において、波の角運動量に関連する特性も大きな注目を集めています。例えば、電磁波には、電磁場の偏光特性によって決まる「スピン」角運動量と、位相の空間分布によって決まる「軌道」角運動量が存在します。電磁波の角運動量を適切に特性評価し、操作することで、通信チャネルと帯域幅を向上させることができます。同様に、空気音波の研究では、軌道角運動量を使用して音波通信のチャネルと帯域幅を改善し、粒子の回転を操作することもできます。電磁波と比較して、音波の「軌道」角運動量に人々はより注目します。空気は流体であり、理想的な流体にはせん断力がないため、一般に空気伝播音波の速度場には回転がないことを意味します。したがって、空気音波は電磁波と同様に伝播方向に対して垂直な偏光挙動を示しません。そして、「音波は回転しない」という事実から、「音波にはスピン角運動量がない」ということが常に共通の認識となってきました。しかし、回転がないということは、スピン角運動量がないということと本当に同じなのでしょうか?

音波は実際には媒体の弾性振動を表すものであることがわかっています。広義の音波には、空気などの流体媒体中の音波だけでなく、固体媒体中の音波も含まれます。これらを総称して弾性波と呼ぶことができます。「空気音はスピン角運動量を持っているか」という疑問をより体系的に探求するために、弾性波の角運動量を見てみましょう。

2 弾性波の角運動量

弾性波によって運ばれる角運動量を調べる前に、次の 2 つの問題を明確にする必要があります。

1. ここで議論している「スピン」は量子力学におけるスピンのことですか?

マクロなシステムの場合、波のスピンを研究するのに量子力学の知識は必要ありません。電磁波を例にとると、量子光学では、電磁波のスピン角運動量は実際には光子のスピンです。しかし、量子効果の領域に入らずにマクロ的な観点から電磁波を研究する場合、円偏光した古典的な電磁場はスピン角運動量を持つことができます。

(ii) 電磁波の量子化された記述は光子であるが、弾性波の量子化された記述は何であるか？スピンはありますか？

弾性波の量子化された記述は「フォノン」[1]であり、弾性波とフォノンのスピンは場の量子化された記述を通じて結び付けられることもできる[2]。フォノンスピンは 1961 年にはすでに研究されていましたが、それ以前の研究では「横波」フォノン (つまり、せん断振動の円偏光モード) に重点が置かれており、回転角がゼロの「縦波」にスピン角運動量があるかどうかについては答えていませんでした。

この記事の以下の議論は、依然として主に古典的な観点に基づいています。

古典力学では、固定点 O に対する粒子の角運動量 L は次のように定義されます。

このうち、r は点 O から粒子を指す位置ベクトル、p は粒子の運動量（つまり、粒子の質量と粒子の速度の積）、x はベクトルの外積を表します。弾性媒体を質点の集合とみなすと、弾性波はこれらの質点の振動となります（図 1 を参照）。振動中にこれらの粒子が固定点 O に対して運ぶ角運動量は、弾性波によって運ばれる角運動量です。

図 1 弾性波は粒子の一連の振動として考えることができます。

よく議論される弾性波を運ぶ連続媒体は、自由に移動する粒子とは異なり、その質量要素間に位置関係の要件があることは注目に値します。

図2 連星系。

たとえば、2 つの自由粒子は、図 2 に示すような二進運動を実行できます。ただし、弾性波の場合、媒体内の任意の 2 つの質量要素は、布の上の 2 つの点に似ています。布が破れたり、全体として動かないことを保証するという前提の下では、これら 2 つの微小質量要素は、上記の連星系のようなデュエットを行うことはできません。したがって、弾性波は離散的な粒子よりも連続的な「場」によって記述する方が適切です。

弾性波の伝播がない場合、座標系の原点に対する質量要素の位置ベクトルは r であると仮定します。弾性波がある場合、質量要素の位置は u(t)+r です。ここで、u は質量要素の平衡位置からの偏差を表すベクトルであり、時間に関連する関数です。このようにして、弾性波を表すことができる時間依存のベクトル場 u(r, t) が得られます。これは、各平衡位置 r で変位ベクトル u が得られることを意味します。平衡位置 r は時間とは関係がないので、「布」は全体として動きません。そして、このベクトル場の微分が存在し、連続していることが要求されます。これにより、「布」が常に滑らかで破れないことが保証されます。したがって、粒子図をベクトル場 u(t)+r の図に置き換えてもよいでしょう。ここで、矢印の始点は r にあり、矢印の方向は u の方向を表し、矢印のサイズは |u| を表します。図 3 の固体音響表面波 (レイリー波) を例にとると、粒子の集合の振動は時間とともに変化するベクトル場によって記述できます。

図3 固体中のレイリー波左の画像は粒子画像、右の画像は変位場画像です。

では、この場の角運動量についてどのように議論すればよいのでしょうか?

ブル卿のアドバイスに従い、巨人の肩の上に立ちましょう。数学と物理学の巨人、エミー・ネーターがいます。 (編集者注: 「数学の神々に崇拝され、その定理が 20 世紀物理学の基礎となった数学者」を参照)

エミー・ネーター（1882-1935）

彼女は、物理システムの作用のあらゆる微分対称性には、対応する保存則があると述べています。簡単に言えば、物理システムの座標系を、その作用量を同じに保ちながら平行移動、回転、またはねじり、対応する保存量を見つけることができます。たとえば、時間並進対称性はエネルギー保存に対応し、空間並進対称性は運動量保存に対応し、空間回転対称性は角運動量保存に対応します。弾性波の場合、ラグランジアンを書き出して変換し、回転させるだけで、弾性波の角運動量の形が得られます。

回転操作で軌道とスピンを分離する方法については、「演算子」と回転行列の言語から始めて（弾性波スピンを記述するために量子効果を考慮する必要があるという意味ではないことに注意してください）、教科書で一般的に使用されている「怠惰な」理解方法を示すことができます。ベクトル場に対して微小回転を実行する場合、回転は 2 つの部分として理解できます。図 4 で青で示されている座標系を中心とした回転と、図 4 で赤で示されているベクトル自体を中心とした回転です。前者は「軌道」部分を与え、後者は「スピン」部分を与えます。「軌道」と「スピン」の違いがわかります。前者は空間全体の分布に関係しています。

軌道角運動量とスピン角運動量の違いは、式中の r の有無を使用して説明するのはあまり直感的ではありません。両者の違いをより明確にするために、非常に薄い弾性リングを想像し、そのリングが軌道角運動量密度/スピン角運動量密度のみで振動すると仮定して、対応する振動モードがどのようなものかを確認します。図 5 に示すように、黒い円はリングの平衡位置を表し、この円を起点として u を表す一連の黒い矢印が描かれます。

図5. 軌道角運動量密度（OAM）のみが存在する場合の変位場（黒い矢印）の時間変化。各位置での変位場は方向を変えないが、振動モードは全体として回転していることがわかります。

このとき、リング全体の振動状態は「回転」していますが、それぞれの黒い矢印は方向を変えておらず、大きさだけが変わっています。これは、マイクロマス要素の動きが常に「前方および後方にまっすぐ」であることを意味します。リング上の固定位置のみの振動を観察すると、微小質量素子自体は回転していない、つまりスピン角運動量密度はゼロ（各微小質量素子自体は円偏波振動していない）であるが、軌道角運動量密度はゼロではなく、微小質量素子の振動状態（またはエネルギーの流れ）が反時計回り方向に伝播していることがわかります。では、リング上の振動モードがリングに沿って伝播しない場合、軌道角運動量は存在しないのでしょうか?はい、図 6 に示すリングと同様に、全体的な軌道角運動量はゼロです。

図6 スピン角運動量密度（SAM）のみが存在する場合の変位場の時間変化。振動モードは全体としては回転しませんが、各固定位置での変位場が回転していることがわかります。

明らかに、この時点でリングの振動状態はリングに沿って時計回りまたは反時計回りに伝播しませんが、質量要素の変位を表す黒いベクトルは回転しています。つまり、これらの質量要素は角運動量を運びます。したがって、このリングの軌道角運動量密度はゼロですが、スピン角運動量密度はゼロではありません。

上記の分析から、場（波）のスピンは場の分極ベクトル（変位、速度など）の時間による回転であり、場のベクトルの空間渦とは関係がないこともわかります。したがって、空気音波のような純粋な縦波（変位場の回転がゼロ）のみを伝播できる流体でも、スピン角運動量を運ぶことができる[3, 4]。この時点で、最終的に「音波は非回転である」ということは「音波にはスピン角運動量がない」ということにはつながらないと言えます。

3 弾性波はなぜそれほどユニークなのでしょうか?混成スピンの寄与

これまでの議論を通して、弾性波のスピン角運動量が何であるかを大まかに理解し、また、非回転場がスピン角運動量を持つことができるかどうかという疑問にも答えました。次のステップは、弾性波のスピンがどのような興味深い特性を持っているかを考えることです。

上記の式の赤い部分は、純粋な横波や純粋な縦波には現れない横波と縦波の交差項です。これを弾性波スピン角運動量への「ハイブリッド」寄与と呼ぶことができます。「ハイブリッド」スピンの存在により、より豊富な構造を含む弾性波スピンが生成されます。例えば、表面波系では、弾性波のスピン分布は「ユニーク」であるように見える[5]。

図7 a〜dはそれぞれ表面水波、表面電磁波、表面空気音波、レイリー波に対応します。カラーマップの青色はスピン角運動量密度の方向が紙面に対して垂直で内側（負）であることを示し、赤色は紙面に対して垂直で外側（正）の方向を表します。黒い矢印はベクトル場の大きさと方向を表し、対応する楕円偏光の方向が右側に描かれています。明らかに、右端の弾性表面波のスピン分布は、最初の 3 つのシステムとは大きく異なります。

図7に示すいくつかの表面波のベクトル場は数学的に非常に類似しており[5]、その振幅は深さが増加するにつれて指数関数的に減少します。最初の 3 つのフィールドの回転と発散 (空間領域における幾何学的特性) は異なりますが、スピン密度 (時間領域における回転特性) は類似しています。それらはすべて紙の表面に対して垂直で内側に向いており、深さが増すにつれてサイズが徐々に小さくなります。弾性表面波（レイリー波）は異なります。弾性媒体の表面上のスピン方向は紙に対して垂直で外側を向いているだけでなく、深さが増すにつれてスピン方向も反転します。これは実際には「ハイブリッド」スピンの存在によるもので、これが弾性波を他のシステムと異なるものにしています。

今日では、弾性波の古典理論はさまざまな分野で広く利用されています。地震研究、地質調査、非破壊検査、表面弾性波フィルタなどの工学アプリケーションから、弾性メタマテリアル、光弾性、磁気弾性結合システムに基づく最先端の探査まで、すべて弾性波の制御が必要です。成熟した弾性波理論と「弾性スピン」という新しい視点を組み合わせることで、実際の応用のための新しいアイデアが生まれます。「ハイブリッド化」によってもたらされる特性は、弾性波のいくつかの独特な制御方法にも影響を与える可能性があります。

たとえば、超音波検査では、誘導波モードの励起と識別が重要です。異なる導波モードは欠陥に対する応答特性が異なるため、純粋な導波モードを選択的に励起することが非常に重要です。ここでは、弾性導波管の基本的なタイプであるラム波を例にとり、ラム波と他のシステムの同様の導波管を比較して、スピン分布の違いを確認します。

2次元導波管では、導波管の上部境界と下部境界の振動モードの対称性に応じて、導波管は対称モードと反対称モードの2種類に分けられます。

図8 電磁波の対称モードと反対称モード。黒い矢印は電界を示します。ここで、対称モードと反対称モードの上部表面スピン密度と下部表面スピン密度の方向は同じです。

図9 空気伝播音波の対称モードと反対称モード。黒い矢印は速度場を示します。ここで、対称モードと反対称モードの上部表面スピン密度と下部表面スピン密度の方向は同じです。

図10 弾性板波（ラム波）の対称モードと反対称モード。黒い矢印は変位場を示します。電磁波や空気音波の導波モードとは異なり、ラム波の対称モードと反対称モードでは、上面と下面のスピン密度の方向が反対になっていることがわかります。

図 8 ～ 10 から、弾性波の対称/反対称モード (S/A モード) のみが反対のスピン角運動量分布を示すことがわかります。計算により（図11）、SモードとAモードの違いは「ハイブリッド」部分の寄与によって決まることがわかります。

図 11 弾性板波 (ラム波) の A0 モードと S0 モードでは、混成寄与 (Sh) が反対であるため、合計スピンも反対になります。

一般的に言えば、2 つの境界上の波の対称性を制御する場合は、各境界に励起源、つまり異なる位置に少なくとも 2 つの励起源を設置する必要があります。しかし、ラム波の A0 モードと S0 モードにおける弾性スピンの分布は逆になります。つまり、境界付近の弾性スピンの方向を制御し、対称モードと反対称モードをそれぞれ励起するには、境界に円偏光源（カイラル源）を設置するだけでよいことになります。

図 12. 単一境界上のスピン源を使用した A/S モードの逆励起。互いに垂直な圧電板のグループは、その近傍の分極モードを制御し、特徴的な弾性スピン信号を励起することができます。

図12は、互いに直交する圧電板のグループを使用して、2つの直交方向の振動位相差をそれぞれ制御し、キラル源によって励起される振動のスピン方向を自由に制御できるキラル源を実現する方法を示しています。図 12 に示すように、薄板の下境界にあるスピン源が正のスピンを持つモードを励起すると、ソースの左側 (x<0) に A0 モードが、ソースの右側 (x>0) に S0 モードが観測されます。

実験測定では、フィールドをスキャンし、データに対して 2 次元フーリエ変換を実行することによって、周波数領域信号を取得できます。測定結果を理論的なA0/S0分散と比較することで、どのモードが測定されているかを区別することができます（図13）。

図 13: 実験測定結果、信号は S>0 のキラルソースによって励起されます。発生源の左側（x<0）では、弾性波の信号はA0モードの分散曲線上にあり、信号がA0モードであることを示しています。ソースの右側（x>0）の信号はS0モードです。これは、実験測定結果が図 12 の予想と一致していることを示しています。

4 結論

一般に、古典波の観点から見ると、弾性波はスピン角運動量を運ぶことができます。ノイマンの定理を使用すると、変位場を通る弾性波のスピン角運動量の形を厳密に定義できます。特に、スピン角運動量の存在は変位場が回転しているかどうかに依存せず、弾性波変位場には回転/発散がゼロの成分も含まれており、より豊かなスピン角運動量構造を与えています。「スピン」という新しい視点は、弾性波の古典的かつ成熟した理論と組み合わせることで、弾性波の研究に新たなアイデアをもたらすことができます。

さらに、上記の議論では、弾性波の量子化されたバージョンである「フォノン」についてはあまり触れられていませんでした。弾性波場の基本励起として、フォノンは量子化過程を経て格子振動に対応する準粒子とみなされます。逆格子空間では、電磁波と光子の関係と同様に、フォノンの固有特性は実空間の弾性波の全体的な特性と密接に関連しています。したがって、フォノンスピンと弾性波スピンは表裏一体であり、密接に関連している[2]。角運動量保存の基本法則を考慮すると、弾性波スピンとフォノンスピンは光子スピン、電子スピンなどに変換することもできます。電気音響結合、光機械結合、磁気弾性結合、圧電結合などのプロセスに関しては、弾性波スピンとフォノンスピンの導入により、スピン関連のセンシングおよび制御技術をより深く探求することができます。

角運動量に関する研究は、基礎研究や技術開発に欠かせないものです。弾性波角運動量についての理解が深まるにつれ、より興味深く、斬新で実用的な内容が発見されることを期待しています。

参考文献

[1] 物理学51、855（2022）

http://www.wuli.ac.cn/article/doi/10.7693/wl20221205

[2] 中国物理学論文集39, 126301 (2022)

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0256-307X/39/12/126301

[3] プロシーディング国立アカデミー科学。 115, 9951 (2018)

https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.1808534115

[4] ナショナルサイエンスレビュー6、707（2019）

https://academic.oup.com/nsr/article/6/4/707/5488454

[5] 物理学レット牧師131、136102（2023）

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.131.136102