2 年間の苦労の末、ついに「量子シミュレータのトポロジカル欠陥を克服するにはどうすればよいか」という論文が出版されました。

査読者との2年間の知恵比べの末、量子シミュレータのトポロジカル欠陥を克服する論文がついに出版されました。著者らは、位相的な障害を伴う組み合わせ最適化問題を解決するための新しい量子アニーリングアルゴリズムを提案しました。

執筆者：ヤン・ジェン（ウェストレイク大学物理学科）

満足のいく成果が査読者や編集者に評価されなかったらどうすればいいでしょうか?よりレベルの低いジャーナルに切り替えたり、同じレベルの他のジャーナルに投稿したりしても何も問題はないと思います。本日お話ししたいのは、逆境に対する姿勢についてであり、また、私たちが最近行った興味深い取り組みについても紹介したいと思います。

2019年、私は量子アニーリング/断熱量子コンピューティングの分野に注力し始めました。中核となる考え方は、量子コンピューティングの問題の大部分は本質的に組み合わせ最適化問題であり、スピングラスの基底状態を解く問題に還元できるというものです。指数関数的に膨大な数のほぼ縮退した状態から最適な解を見つけるための優れたアルゴリズムが見つかれば、この問題は簡単に解決されます。もちろん、量子アニーリングアルゴリズムは、このような問題に対処するための強力なツールであると現在考えられています。量子アニーリングマシンも比較的簡単に構築でき、D-wave社がすでに商品化している。

フラストレートしたシステムを研究してきた長年の経験から、最適化する問題に低エネルギー制約がある場合、何らかのトポロジカル欠陥が発生する可能性が高く、基底状態がトポロジカルに保護され、通常の量子アルゴリズムでは最適解に到達するのが困難になることにすぐに気付きました。これはまさにトポロジカル量子コンピューティングの逆です。トポロジカル量子コンピューティングでは、トポロジ特性によって量子ビットが環境の影響を受けないように保護されます。一方、最適化問題では、トポロジーが量子コンピューティングの妨げになります。では、このような組み合わせ最適化問題に遭遇した場合、それを解決するための効率的な量子アルゴリズムはあるのでしょうか?

このような疑問は理論的には正式に提起されていないものの、量子シミュレーションの分野では関連する議論が広範に行われてきました。例えば、リュードベリ配列や超伝導回路[1–9]などの最近のシステムはすべて、格子ゲージ場における興味深い物理現象の実現に熱心に取り組んでいます。これには、位相カテゴリ全体にわたって量子シミュレータ上の状態をどのように準備するかという問題が含まれます。これを踏まえて、香港大学の孟紫陽教授、カナダのペリメーター理論物理学研究所の周正氏、北京航空航天大学の中仏航空アカデミーの王延成教授、同済大学の邱星澤教授、重慶大学の周延華氏および張雪鋒教授からなる私の研究チームは、位相的障害を伴う組合せ最適化問題を解決する新しい量子アニーリングアルゴリズム、スキャン量子アニーリングを提案しました。この研究では、新しい問題 (組み合わせ最適化問題における位相的障害) を明示的に提起し、それを解決するための新しい量子アニーリングアルゴリズムを提供します。このアルゴリズムは、量子シミュレータ上で簡単に実装できます。この仕事は非常に革新的であり、私が比較的満足している数少ない仕事の一つだと考えています。

2021年5月には、arXivに論文を掲載しました。しかし、正式に提出した後、審査プロセスで問題が発生し、非常に困難を極めました。ある L ジャーナルの査読者が、次のような考えを巡らせる質問をしました。「あなたの方法は非常に優れているので、量子コンピューティングに関する本を出版します。この本に載っている典型的な問題を 1 つか 2 つ解いてください。」実際のところ、この本に書かれている問題は位相欠陥とは何の関係もありません。 1回目の返答と説明の後、審査員は依然として無関心であったため、私たちは論文をあるA誌に移さなければなりませんでした。しかし、審査員は依然として、トポロジカルな障害特性を持たない教科書のいくつかの量子コンピューティングの問題を解決するよう主張しました。絶望のあまり、私は一度は出版を諦めてこの記事を arXiv に残そうと考えました。しかし、この研究の多くの革新的な側面を考えると、気が進まなくなり、最終的に他のジャーナルに投稿してみることにしました。最近、この論文はついに出版が承認されました[npj Quantum Information 9, 89 (2023)]。 2年かかり、紆余曲折を経て、私はほとんど諦めかけました。とても悲しいですね。

実のところ、私はこのレビューシステムに対して愛憎入り混じった感情を抱いています。憎むべきことは、いわゆる「書類仕事」をするために科学研究者の貴重な時間をたくさん無駄にしているということです。レビュー担当者の要求に応えるために、彼らはあらゆる努力をします。場合によっては、追加作業の量が新しい論文を完成させる量と同等になることもありますが、論文自体の科学的意義は必ずしも向上しません。多くの場合、査読者は自分の存在を感じさせるために、関係のない難点を人為的に追加するため、時間と労力がかかります。私が気に入っているのは、それが科学研究の基本的な基準を設定し、多数の誤った研究を排除し、少なくとも科学研究論文の厳密さと正確さをある程度保証している点です。さらに、レビューアーの拒絶は、人々により深い物理的な意味合いについて考えさせることが多く、著者が生き残り、反撃することを可能にします。例えば、エンタングルメントスペクトルに関する私の前回の論文[Nature Communications 14, 2360 (2023)]では、大規模システムのエンタングルメントスペクトルを抽出する計算上の難しさは解決しましたが、査読者はまだ満足していませんでした。強い圧力の下、我々はさらに、縮小密度行列の経路積分に対するワームホール効果を提案し、これによりハルデーンのエンタングルメントスペクトルの予想を非常にうまく説明し、一般化することが可能になりました。もし査読者が私にあまり強く迫っていなかったら、この研究で経路積分に対するワームホール効果が発見され、提案されることはなかっただろうと思います。

そうは言っても、私が表現したかった核心的な考えは終わりました。科学研究において、困難に正面から立ち向かい、ありのままの自分を貫いてほしいと思います。満足できる仕事は決して簡単に諦めないでください。次に、少し時間を取ってこの作品について詳しく紹介したいと思います。

まず、スピングラスと量子アニーリングについて簡単に紹介します。スピンと量子ビットは実際には同等であると考えられており、本質的には 2 レベルのシステムです。スピングラスは、スピンが不規則な強度で互いに結合した多体系です。一般的に言えば、

伝統的な統計物理学では、スピングラス自体は長年の課題となっていました。図 1(a) に見られるように、スピングラスの配置エネルギー図には、ほぼ縮退した配置が多数存在し、これらはしばしば局所最小値状態と呼ばれます。これらの状態は、システムが真の基底状態に到達するのを大いに妨げます。進化するシステムが局所最小値状態に陥ると、そこから抜け出すことは困難になり、基底状態に到達したとみなされます。いわゆる量子アニーリングは、システムの量子トンネル効果を強化することで基底状態を見つけやすくします。

図 1. (a) 従来のガラスモデルによるアニーリングの概略図。全体的な最適状態は量子トンネル効果を通じて見つけることができます。 (b) 格子ゲージ場理論における最適化問題: 量子トンネル効果はどのようにして位相クラス全体にわたってグローバルな最適状態を見つけることができるか?

これを、私が注目している格子ゲージ場モデルの量子シミュレーションと組み合わせると、すぐに興味深い疑問が浮かびました。最適化する問題に位相特性が含まれている場合、システムはどのようにして基底状態に到達できるのでしょうか。図 1(b) に示すように、最適化問題自体の多くのほぼ退化した状態に加えて、システムの低エネルギー有効空間をいくつかのトポロジカルクラスに分割するトポロジカル欠陥もあります。局所的な量子ゆらぎを通じて異なるトポロジカルクラス間をうまくトンネルすることはほぼ不可能です。明らかに、従来の量子アニーリングアルゴリズムはこの時点で失敗しており、トポロジカル障壁を克服するための新しい量子アニーリングアルゴリズムを設計することが重要です。

このようなトポロジカル欠陥を持つシステムは、実際には非常に一般的です。実験の観点から見ると、量子シミュレータによる格子ゲージ場やフラクトンなどの実現は現在非常に重要な最前線にあります。しかし、これらのシステムには、局所的な量子演算では接続できないサブヒルベルト空間が多数存在します。したがって、実験自体で目標状態を達成する方法には、位相クラスを交差するという概念が関係します。理論的には、システムがより大きなエネルギースケールで存在する場合、いくつかの構成はより高いエネルギーを持ち、射影されますが、低エネルギー有効空間はこれらの構成を削除した後の制約された空間です。これは、制約を伴う最適化問題に相当し、それ自体は当然ながらどこにでもあるものです。たとえば、誰もがよくプレイするルービックキューブやプッシュボックスなどのゲームは、本質的には制約条件の下での最適化問題です。

分析後、トポロジ特性を持つ困難な最適化問題には、次の特性があるはずです。

1. ほぼ縮退したエネルギーを持つ位相クラスは多数存在する。

2. 最も低いエネルギーを持つ位相クラスはヒルベルト空間の非常に小さな部分を占め、見つけるのは極めて困難です。

3. これに近いエネルギーを持つ他の位相空間は非常に大きく、量子ゆらぎの原因となります。

これまでの研究成果を組み合わせて、私と共同研究者は、上記の条件を満たす非常に単純なモデル、異方性三角格子反強磁性イジングモデルをすぐに特定しました。

つまり、x 方向の結合におけるイジング相互作用の強度は、他の 2 つの方向のそれとは異なります。

図2. (a) 典型的な困難なトポロジー最適化問題の模式図。 (b) 三角格子反強磁性イジングモデルの低エネルギー有効構成は、二重六方格子二量体モデルにマッピングできます。 (c)、(d)、(e) 三角格子反強磁性イジングモデル上の図(a)の対応する位相クラス間隔を見つけます。 (f) トポロジカル欠陥を局所化するには、2 つの高エネルギー点欠陥が必要です。

図 2 のいくつかの構成図を参考にして、このモデルの低エネルギー制約とトポロジカル特性について簡単に紹介します。低エネルギー下では、三角格子の頂点にある 3 つのスピンが同時に互いに反対の方向を満たすことはできないことは直感的に想像できます。各三角形には、同じ方向の 2 つのスピンを持つ辺が 1 つ存在する必要がありますが、他の 2 つの辺はスピンの方向が反対である必要があります。これを三角形の法則と呼びます。 (b)、(c)、(d)、(e)のすべての構成がこの条件を満たしていることがわかります。図 2(b) に示すように、単純なマッピングを作成します。ここでは、三角形の辺を同じ方向のスピンで粗い結合で埋め、残りを細かい結合で埋めます。次に、三角形の規則を六角形の二量体構成にマッピングし、各格子点には二量体が 1 つだけ存在するという制約を満たします。これは実際には局所的な対称性に対応する局所的な保存条件です。実際、これは U(1) 格子ゲージ理論とは対照的であるが、ここではこの点については触れないので、詳しくは述べない。

等方性イジングモデルであれば、三角法則を満たすすべての構成は厳密にエネルギー縮退しており、システムの基底状態であると考えられます。 Jx をわずかに小さくすると、図 2(c) がシステムの基底状態になり、同じ方向のスピンはすべて x 方向に配置されてエネルギーが最小化される傾向があります。このような構成では、スピンを任意に反転すると、いわゆる三角法則に違反し、非常に高いエネルギー励起コストが発生します。したがって、この状態は低エネルギーでは非常に小さな位相クラスを形成し、それが占めるヒルベルト空間は極めて小さくなります。したがって、この目標状態の検索自体が、非常に困難なトポロジー最適化問題となります。

一般的に使用されている均一場量子アニーリング方式とランダム場量子アニーリング方式を試したところ、予想どおり、従来の方法ではトポロジカル保護の堅牢性を克服することが難しいことがわかりました。図 3 (QA と QA-h の線) に示すように、より長い時間を費やしても、現在のトポロジカルクラスから抜け出すことはできません。このトポロジーによって引き起こされるアニーリングの困難さを解決するには、考慮する必要がある 2 つの要素があることが分かりました。まず、2 次元システムでは、トポロジカル欠陥は線欠陥であり、通常の量子ゆらぎはこの線の形状をねじることはできますが、線を除去/生成することはできません。第二に、量子アニーリングプロセスにおける量子ゆらぎ項は実際には高度に制御可能であり、局所的なゆらぎに限定されません。

上記の2つの考慮事項に基づいて、

つまり、横方向のフィールドは線上のすべてのグリッドポイント i に作用します。横方向の磁場強度が非常に大きい場合、この線上の量子ビットとその周囲の量子ビットとの間のイジング相互作用を分離すること、つまりイジング相互作用モデルのエッジを切断することに相当すると考えられます。このアニーリング項をゆっくりと減らすことは、開いた境界条件を閉じた境界条件に徐々に移行することと同じです。

図 3. 量子モンテカルロシミュレーション時間にわたって均一場量子アニーリング (QA)、ランダム場量子アニーリング (QA-h)、およびスキャン量子アニーリング (SQA) によって収束した最低エネルギー。 SQA のみがトポロジカルクラスを越えて真の基底状態に到達します。

簡単にするために、この線形アニーリング項を直線形状に設定し、システム全体に沿って「オープンエッジ」から「クローズドエッジ」までのアニーリングプロセスを継続的に繰り返し、これに基づいて、プロセス全体の背景として元のポイントアニーリングを追加します。この設定では、「オープンエッジ」の場合、トポロジカル欠陥を全体として「境界」の外に移動できることが分かりました。これは、トポロジカル欠陥を消滅/生成することと同じです。このアニーリング方式を Sweeping Quantum Annealing (SQA) と名付けました。この設定では、図 3 (SQA ライン) に示すように、トポロジクラス全体にわたってグローバルな最適状態をすばやく見つけることができます。

スペースの制限があるため、興味のある学生と教師は、詳細については最近の論文[npj Quantum Information 9、89（2023）]を参照してください。

参考文献

[1] サッツィンガー、KJ 他量子プロセッサ上でトポロジカルに秩序立った状態を実現する。サイエンス374、1237–1241（2021）。

[2] セメギーニ、G. 他プログラム可能な量子シミュレータ上でのトポロジカルスピン液体の調査。サイエンス 374, 1242–1247 (2021)

[3] 李克俊他量子シミュレータ上での非可換位相秩序の実験的識別。物理。レット牧師118、080502（2017）。

[4] ルミア、L. 他近未来の量子シミュレータ上の 2 次元 z2 格子ゲージ理論: 変分量子最適化閉じ込めと位相秩序。 PRXQuantum3、020320（2022）。

[5] Yan, Z., Wang, Y.-C., Samajdar, R., Sachdev, S. & Meng, ZY カゴメリュードベリ原子配列におけるガラス状挙動の発現。物理。レット牧師130、206501（2023）。

[6] Yan, Z., Samajdar, R., Wang, Y.-C., Sachdev, S. & Meng, ZY 可変二量体密度を持つ三角格子量子二量体モデル。ナット。コミュニケーション。 13、5799（2022）。

[7] ヤン、Z. 他三角格子上の完全に詰まった量子ループモデル: 隠されたビジョンのプラケット相と立方相転移。プレプリントはhttps://arxiv.org/abs/2205.04472（2022年）。

[8] 周 Z.、ヤン Z.、劉 C.、陳 Y.、張 X.-F.リュードベリ原子配列における2次元U(1)ゲージ理論の量子シミュレーション。プレプリントはhttps://arxiv.org/abs/2212.10863（2022年）をご覧ください。

[9] ラン、X. 他正方格子上の完全に詰まった量子ループモデル：相図とリュードベリ原子への応用。物理。 Rev.B 107、125134（2023）。

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています