ピタゴラスの定理を証明するにはどうすればいいですか?アインシュタインと趙爽、どちらの方法の方が簡単ですか?

「ピタゴラスの定理」の歴史は紀元前1世紀まで遡り、ピタゴラスの定理を紹介した書物は『周秘』です。唐代後期には『周壁』が帝校の明算科の教科書に収録され、『周壁算経』と改名された。

古代中国では、直角三角形の短い辺は「斜辺」、長い辺は「脚」、斜辺は「弦」と呼ばれていました。 『周壁算経』には、斜辺と脚の関係が明確に記録されており、これは私たち全員が知っていることです。斜辺の二乗と脚の二乗を加えると弦の二乗になり、「ピタゴラスの定理」という名前はこれに由来しています。しかし、この定理を発見したのは私たちの先祖だけではありません。約半世紀後、有名な古代ギリシャの数学者であり哲学者であるピタゴラスもこの法則を発見したため、ピタゴラスの定理は「ピタゴラスの定理」とも呼ばれています。

しかし、ピタゴラスの定理を発見することと、それを証明することは別のことです。

現在までに、ピタゴラスの定理を証明する方法は世界中で約 500 種類知られています。周壁算経以降にピタゴラスの定理を証明した最初の中国人は趙爽という人物であるはずだ。趙爽は古代我が国の有名な数学者であり天文学者でした。彼は後漢末期に生まれ、三国時代の孫権統治下の呉の出身であった。彼の数学への最大の貢献は、『周壁算経』の徹底的な研究と『周壁算経ノート』の作成でした。この本の中で、彼は簡単な方法を使ってピタゴラスの定理の正しさを証明しました。趙爽はどのようにしてピタゴラスの定理を証明したのでしょうか？彼は 4 つの同一の直角三角形を組み合わせて大きな正方形を形成しました。正方形の 4 辺は 4 つの直角三角形の弦、つまり斜辺でした。

写真から、趙爽が作った大きな正方形は、4 つの直角三角形と小さな正方形で構成されていることがわかります。

明らかに、大きな正方形の面積は、4 つの直角三角形の面積と中央の小さな正方形の面積を加えたものに等しくなります。大きな正方形の面積はどれくらいですか？それは弦の二乗です。小さな正方形の面積はいくらですか？それは、脚の二乗から斜辺を引いたものです。直角三角形の面積はいくらですか？それは「脚と斜辺の積」の半分です。これで、3 つの面積を 1 つの式で表すことができます: (弦 - 斜辺)² + (4X1/2X弦 X 斜辺) = 弦²。この方程式を簡略化すると、最終結果は、斜辺²+脚²=弦²になります。ピタゴラスの定理を証明しました。

趙爽は周壁算経の後にピタゴラスの定理を証明した最初の中国人でした。ピタゴラスの定理を世界で初めて証明した人物はユークリッドであるはずです。なぜなら、ピタゴラスは西洋で初めてピタゴラスの定理を提唱した人物ですが、彼の証明方法は伝承されていないからです。

趙爽はピタゴラスの定理を証明した世界初の人物ではなかったが、彼の証明方法は十分に単純だった。それで、他にもっと簡単な証明を思いついた人はいますか?はい、例えば、私たち全員がよく知っている物理学者のアインシュタインは、11歳のときに独自の方法を使ってピタゴラスの定理を証明しましたが、彼が使った方法も非常に単純なものでした。趙爽の方法と比べて誰の方法の方が簡単か見てみましょう。アインシュタインが使った方法は、直角三角形を2つに分割することでした。

アインシュタインは直角三角形の直角を頂点として、斜辺に垂直な垂線を引き、直角三角形を2つに分割しました。

今の状況は非常に興味深いです。全体像には、小さい三角形、大きい三角形、分割前の最大の三角形の 3 つの三角形があり、これら 3 つの三角形はたまたま相似三角形になっています。相似三角形とは、対応する角度が等しく、対応する辺が比例する三角形です。 3 つの三角形の斜辺は、それぞれ元の三角形の斜辺、辺、弦です。次に、アインシュタインは、3 つの三角形の斜辺を正方形の辺として使用して、異なるサイズの 3 つの正方形を描きました。3 つの正方形の面積は、それぞれ斜辺²、辺²、弦² でした。 3 つの三角形は相似なので、各三角形とそれに対応する正方形の比率は同じです。

つまり、2 つの小さな三角形の面積の合計は大きな三角形の面積に等しく、2 つの小さな正方形の面積の合計は大きな正方形の面積に等しくなります。

3 つの正方形の面積はそれぞれ斜辺²、脚²、弦² なので、次のように書くことができます: 斜辺²+脚²=弦²。もちろん、アインシュタインの証明方法も比較的単純ですが、比較すると、趙爽の証明方法の方が単純なようです。しかし、結論を急がないでください。ここには隠された部分があり、それはアインシュタインが実際には正方形を描く必要がなかったということです。相似三角形の場合、面積の比は辺の長さの二乗の比に等しいため、「斜辺²+辺²=弦²」と直接結論付けることができ、その単純さは趙爽のものと匹敵します。では、なぜアインシュタインは不必要に正方形を描いたのでしょうか?これはおそらく、11 歳のアインシュタインが、相似三角形の面積の比が、その辺の長さの二乗の比に等しいことを知らなかったためでしょう。

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