まだ終わっていない物語を予見したゲイル・ヴァン・デル

「数学は音楽、詩、哲学と同じように文化の一部です。」

—イスラエル・ゲルファンド

著者：陳冠栄（香港城市大学）

イスラエル・モイセヴィッチ・ゲルファンド（1913年9月2日 - 2009年10月5日）は、ウクライナ南部のオクニー（現在はクラースニ・オクニーと呼ばれる）の普通のユダヤ人家庭に生まれました。

ゲルファンドは中学校卒業後、化学実験技術者になるために職業技術学校に入学したが、卒業前に中退した。 1930年初頭、16歳の彼は生計を立てるために故郷から単身モスクワにやって来た。彼はモスクワのあちこちで臨時労働者として働いていたが、失業することが多かった。その後、彼はレーニン図書館の貸出司書としての仕事を見つけた。そこで彼は、これまで学んだことのない知識を熱心に独学で学びました。彼は数人の大学生と知り合いになり、講義に出席するために彼らについてモスクワ大学に行く時間をよく手配した。彼にとって最大の収穫は、数学者ミハイル・A・ラヴレンチェフ（1900-1980）が主催した複素関数に関する討論クラスに参加したことでした。

1932年、大学の学位を持っていなかったゲルファンドは、数学の成績が優れていたため、モスクワ国立大学の大学院生として入学しました。彼は有名な数学者アンドレイ・N・コルモゴロフ（1903-1987）に師事した。それ以降、ゲルファンド自身の言葉によれば、彼の学歴は「数学者の通常の道に進み、平凡で規則的なものとなった」。

図1 ゲルファンド（1913-2009）

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数学が好きな少年

ゲルファンドがどのようにして「数学者の通常の道を歩み」、成長して「20 世紀で最も偉大な数学者の一人」になったのかを紹介する前に、彼が子供の頃にどのように数学を学んだかを振り返ってみましょう。

ゲルファンド氏の故郷であるオクニーには高校が一つだけある。彼は12歳で中学生だったとき、いくつかの幾何学の問題は代数的手法では解けないことに気づきました。かつて彼は、正弦曲線の弦の長さを 5 度ごとに計算して表を作成しました。もちろん、後になって彼は三角関数の表を「作った」ことに気づいたのです。当時、対応する代数学の教科書がなかったため、彼は初等代数学の練習問題集も完成させました。この小さな成功によって、彼は問題を解くことで数学の新しい分野に入ることができるという真実を理解し、思い出したのです。

13 歳までに、彼は平面幾何学に特別な興味を持つようになりました。彼は、いくつかの直角三角形の辺の長さが 3、4、5、または 5、12、13 であることに気づき、辺の長さが整数であるすべての直角三角形を見つけたいと考えました。その結果、彼はピタゴラスの定理を「発明」した。

当時、彼の家は貧しく、生活環境も悪く、病気にかかりやすい状態でした。しかし、病気で寝込んでいるとき、特に学校の休みのときは、彼は独学で数学を勉強し、大成功を収めました。何年も後、彼は病気から回復した後も、優秀な生徒は病気のときに家にいれば多くのことができると言って、息子にもう数日は家にいるようによく頼んだ。

ゲルファンド氏が子供の頃の家族の貧困を他人が想像するのは難しい。たとえば、親にワークブックを買ってもらうのは贅沢なことでした。その後、彼はついに練習帳を手に入れ、すべてのページに書かれた数学の定理の文と証明を書き写しました。彼は後に、この経験から数学の本の書き方を学んだと回想している。

数学の才能に恵まれていたゲルファンドにとって、数学書の不足は彼のさらなる発展にとって大きな障害となった。彼は上級数学の本の広告をよく見かけ、上級数学はとても興味深いに違いないと思った。貧しい両親が彼にこれらの本を買ってあげられなかったのは残念だ。 15歳のとき、彼は虫垂炎を発症し、虫垂炎の手術を受けるために大都市オデシテの病院に行かなければならなかった。彼はその機会を利用して、両親に甘やかされた子供のように振る舞い、上級数学の本を買ってくれなければ病院には行かないと言った。彼の両親は彼にウクライナ語版の「上級数学コース」を買うしかなかった。私の貧しい両親は、平面解析幾何学と初等微積分を扱った第 1 巻しか買えないほどのお金しか持っていませんでした。

ゲルファンド氏は、正式な大学の教科書から高度な数学を学ぶ機会を得られたことを幸運に感じました。彼は手術後3日目にこの本を待ちきれず読み始め、フランスの作家エミール・ゾラ（1840-1902）の小説と合わせて読みました。入院中の9日間で、彼は上級数学の第1巻を読み終えた。この時期に彼は、オイラー・マクローリンの公式、ベルヌーイ数の漸化式、最初のn個の自然数のp乗の和公式も独自に導きました。彼にとって最大の収穫は、自力で問題を解決する能力を身につけ、問題を解決した後もさらなる結果を求め続けるという良い習慣を身につけたことです。

1930年、16歳のゲルファンドは両親に別れを告げ、働いて生計を立てるためにモスクワへ行きました。

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数学者の優れた貢献

1932年、ゲルファンドはモスクワ国立大学の大学院生となり、偉大な数学者コルモゴロフに師事した。

大学院在学中、指導教官の指導の下、ゲルファンドは当時新興分野であった関数解析の分野に進みました。 1935 年、ゲルファンドは抽象関数と線形演算子に関する博士号を取得しました。彼は関数解析、特に完全ノルム空間の多くの基本的性質を証明し、連続線型関数を通じてこれらの問題の多くを古典的な解析問題に変換するいくつかの普遍的な方法を確立しました。

1940年、ゲルファンドはソビエト連邦から物理学と数学の博士号を取得した。彼は論文の中で、可換ノルム環の理論を確立し、バナッハ代数の基礎を築きました。この分野で彼は後に全く新しい表現理論を確立し、ヒルベルト空間における線型作用素のスペクトル理論をノルム代数に拡張した。興味深い例として、彼はノルム環の理論と技術を応用し、わずか 5 行で、ノーバート・ウィーナー (1894-1964) が以前の長い論文で証明した有名な定理を導き出しました。ゼロ値を取らない関数を絶対収束フーリエ級数に展開できる場合、その逆数も絶対収束フーリエ級数に展開できるというものです。次に、ゲルファンドは C* 代数の研究の先駆者となりました。

1943年、ゲルファンドはモスクワ国立大学の教授となり、その後ソビエト科学アカデミー応用数学研究所で働きました。 1950 年代に、ゲルファンドは純粋数学と応用数学の多くの分野で数多くの実りある研究を行い、実りある成果を上げました。彼の主な貢献は、関数解析、調和解析、群の表現論、積分幾何学、一般関数、微分方程式、数理物理学などの分野に及びます。さらに、1958年以降は生物学と生理学に関する詳細な研究を行い、ソビエト科学アカデミーに生物物理学研究所を設立して所長を務めました。生物医学分野では、X線とCTスキャンの数学を研究し、ヨハン・KA・ラドン（1887-1956）の画像変換を改良して新しい積分幾何学を生み出した。

ゲルファンド氏は約500本の論文を発表したが、そのうち自身の名義で発表されたのは33本で、全体のわずか7％に過ぎなかった。一方、中国の数学者夏道星氏を含む206人の共同研究者が論文を共同発表した。彼はまた、18 冊の教科書と研究論文を出版しています。 1980 年代後半、シュプリンガー社は著者が選んだ 167 件の論文を収録した「ゲイル・ファン・デル・ライエン選集」全 3 巻を出版しました。 1958 年から 1966 年にかけて、ゲルファンドは 6 巻からなる大著『一般化関数』の編集と出版を主導しました。このうち第 1 巻では、一般化関数の定義、基本特性、フーリエ変換、およびさまざまな特殊なタイプの一般化関数について説明します。第 2 巻では、さまざまな種類の基本関数空間とそれらの上の一般化関数、および対応するフーリエ変換について説明します。第 3 巻では、一般化関数を適用して、偏微分方程式の Cauchy 問題に対する解の存在、一意性、適切性、および特性関数による自己随伴微分演算子の展開を研究します。第 4 巻では、カーネル空間とその応用を研究し、装備されたヒルベルト空間、および正定値一般化関数、一般化ランダム過程、線形位相空間上の測度論を紹介します。第 5 巻では、積分幾何学に基づくローレンツ群と関連する同次空間上の調和解析について説明します。第6巻では表現論と保型関数について紹介します。このモノグラフ集は国際的に非常に高い評価を得ています。中国語、英語、フランス語、ドイツ語に翻訳されており、解析数学者のための基本的な教科書および参考資料です。

図2 ゲルファンド（モスクワ国立大学）

ゲルファンド氏の数学研究は数学の教育と密接に関係しています。彼はモスクワ国立大学で学部3年生を教えることが多かった。 1944年から、彼は若い教師と大学院生のための関数解析セミナーを開始し、後に理論物理学セミナーも開始しました。ゲルファンドが主催し指導したセミナーは彼の晩年まで継続され、ソビエト連邦における関数解析の発展と新しい数学的才能の育成のための主要な基盤となった。ゲイル・ヴァン・デルはいつもユーモアがあり、機知に富んでいます。彼は何度も冗談を言った。「このセミナーは、普通の高校生、優秀な学部生、優秀な大学院生、優秀な教授を対象としています。」彼と共同研究した若者のグループは彼のゼミから出ており、その多くは後に有名な数学者になった。その中には、数学界ではよく知られている F. ベレジン、J. バーンスタイン、E. ディンキン、A. ゴンチャロフ、D. カジダン、A. キリロフ、M. コンツェビッチ、A. ゼレヴィンスキーなどが含まれる。特に、1990 年のウルフ数学賞を受賞したリャ・ピアテツキー＝シャピロ (1929-2009) が有名である。ピアテツキー＝シャピロ氏は、当時のソ連の数学界にはコルモゴロフ、ゲルファンド、イーゴリ・R・シャファレヴィッチ（1923年 - 2017年）という三人の偉大な巨匠がおり、三世代にわたる師匠と弟子がいたと考えている。彼はこう言った。「ゲルファンドは最も傑出している。彼はシャファレヴィチの深い数学的才能とコルモゴロフの広範な知識を持っている。さらに、ゲルファンドは特別な才能を持っている。彼は圧倒されることなく、同時にいくつかの基礎分野の研究に従事することができるのだ... この点において、ゲルファンドは比類のない存在だ。」

ゲルファンド氏は、おそらく幼少期に貧しく学校を中退したため、中学生の数学教育に特に関心を持っていることは特筆に値します。彼は 1930 年代のモスクワ数学オリンピックの創始者の一人であり、数学の遠隔教育のための通信学校の設立にも携わっていました。彼は率先して、数人の数学者の友人と協力して、中学生向けの 5 つの基礎数学の読み物、「代数」、「幾何学」、「三角法」、「関数とグラフ」、「座標法」を執筆しました。英語版は2000年代にシュプリンガー社から出版され、中国語訳は「ゲイル・ファン・デル中学生のための数学的思考シリーズ」に収録された。

ゲルファンドは90歳のとき、過去を振り返り、人生のさまざまな段階での教師たちに深い感謝の念を抱きました。「私にとって最も重要な教師は、若くして亡くなった天才数学者シュニレルマンでした。他には、コルモゴロフ、ラヴレンチェフ、プレスナー、ペトロフスキー、ポントリアギン、ヴィノグラードフ、ルステルニクなど、それぞれに違ったタイプの教師がいましたが、いずれも偉大な数学者でした。私は彼ら全員に深く感謝しており、彼らから多くのことを学びました。」

図3 ゲルファンドの作品の一部

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受賞と栄誉

ゲルファンドは国際数学者会議（1954年、1962年、1970年）で3回の全体報告を行っており、これは現代数学の発展における彼の重要な地位を示すのに十分である。実際、これまでにヴィト・ヴォルテッラ（1860-1940）のみが4回の全体講義を行っており、エリー・カルタン（1869-1961）、ラース・アルフォルス（1907-1996）、アンドレ・ヴェイユ（1906-1998）が3回の全体講義を行っています。

ゲルファンドは1953年にソ連科学アカデミーの通信会員に選出され、1984年には会員となった。1968年から1970年までモスクワ数学協会の会長を務めた。その後、レーニン勲章を3度受賞（1973年が初受賞）、日本のノーベル賞として知られる京都賞（1989年）、アメリカ文化界最高の栄誉であるマッカーサー・フェロー（1994年）、アメリカ数学協会生涯功労賞（2005年LPスティール賞）を受賞した。

ゲルファンド氏は、ロンドン王立協会、米国科学アカデミー、アメリカ芸術科学アカデミー、パリ科学アカデミー、スウェーデン王立科学アカデミーの会員でもあります。彼はオックスフォード大学、ハーバード大学、パリ大学から名誉博士号を授与された。

1978年、ゲルファンドとドイツの数学者カール・L・シーゲル（1896-1981）は、イスラエルのウルフ財団が設立した第1回ウルフ数学賞を共同受賞しました。しかし、1968年にソ連の数学者99人が署名した公開書簡に参加し、政治的見解の違いから精神病院に収監されていた数学者アレクサンダー・エセーニン＝ヴォルピン（1924-2016）の釈放を政府に要求したことや、ソ連とイスラエルが以前に国交を断絶していたことから、ゲルファンド氏はその年の授賞式への出席を禁じられ、ウルフ賞の初授与は恥ずべきものとなった。ゲルファンド氏が10年前に授与されたメダルを受け取るためにイスラエルへ渡航できたのは1988年になってからだった。

ちなみに、これまでに数学のウルフ賞を受賞した中国の数学者は、陳世申（1983年）と邱成東（2010年）の2人だけです。

図4 MITで講義するゲルファンド氏

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物語はまだ終わっていない

1989年、76歳でゲルファンドはアメリカに移住した。ハーバード大学とMITを一定期間訪問した後、ラトガース大学の終身特別客員教授に採用されました。

ゲルファンド氏は2009年10月5日、ニュージャージー州ニューブランズウィックで96歳で亡くなった。

ゲルファンドと最初の妻ゾリャ・シャピロにはセルゲイとウラジミールの3人の息子がいたが、末っ子のアレクサンドルは1958年に白血病で亡くなった。そのとき経験した痛みが、彼が生物医学を学び始める主な動機となった。彼と将来の妻タチアナの間には、やはりタチアナという名前の娘がいた。

ウクライナの数学者ゲルファンドはこのようにしてその並外れた生涯を送り、人類に貴重な数学の宝を大量に残しました。

2003 年 9 月 2 日、ゲルファンドは 90 歳の誕生日を祝う晩餐会で短いスピーチを行った (「ウクライナ生まれの偉大な数学者ゲルファンドの 90 歳の誕生日パーティーでのスピーチ」を参照)。そのテーマは、数学に対する彼の見解と、なぜ彼が高齢になっても数学を続けているのかであった。最後に彼は話題を変えて、本題から外れたことを言いました。

「最後に、数学以外の例を挙げたいと思います。先ほど述べた簡潔さと正確さという特徴を兼ね備えた、短くて簡潔な文章があります。それは、ノーベル文学賞受賞者のアイザック・バシェヴィス・シンガーの次の一文です。『人間が剣を使って弱者を滅ぼす限り、正義は存在しない。』」

今日、彼はまだ終わっていない物語を予見していたようだ。

図5 ラトガース大学で講義をするゲルファンド

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