デートと結婚：数学は最高のパートナーを見つけるのに役立ちます

恋人たちはやがて結婚するでしょう。人生で最も重要な問題を解決するためにブラインドデートを選択した場合、最も理想的なパートナーを見つけることができるでしょうか?運命の人に出会うまでに何回ブラインドデートに参加する必要がありますか？

実際、これは数学における古典的な問題、つまり最適停止理論に属します。最も驚くべきことは、e を超える数字がその中に隠されていることです。なぜこの普遍的な定数がブラインドデートのプロセスに現れるのでしょうか?この記事のパズル 2 で答えがわかります。パズル 3 は、愛から生まれたもう 1 つの数学の問題です (パズル 1 も非常に興味深いものです)。皆様、ハッピーバレンタインデー！

プラディープ・ムタリック

コンピレーション |ネザ

先月、私たちは一見普通に見えて、多くのひねりが加えられたパズルを 3 つプレゼントしました。物語の背後には、謎の超越数（オイラー数）e が存在します。これは自然対数の底として最もよく知られています。 e は普遍定数であり、無限の 10 進数表現を持ちます: 2.7 1828 1828 45 90 45… (この間隔の書き方は、小数点以下の 15 桁の一定の規則性を示すためだけのものです)。それで、なぜそれが突然私たちのパズルに現れたのでしょうか?

この質問に答える前に、e の特性についてさらに詳しく知る必要があります。超越数である π と同様に、e は、無限級数の和、無限数の積、無限列の極限、驚くべき規則的な連分数など、無数の方法で表現できます。

初めてeを学んだときのことを今でも覚えています。私たちは中学校で常用対数を学んでいましたが、すべての数を 10 の分数乗で表すと複雑な掛け算が簡単な足し算になるということに驚きました。しかし、分数累乗と無理数累乗はどのように計算されるのか知りたいです。もちろん、10^2、10^3 などの整数の累乗を計算するのは簡単ですし、必要であれば、10^5 の平方根を取って 10^2.5 を計算することもできます。しかし、対数表と同じように、20 は 10^1.30103 です。どうやってそれを求めたのでしょうか?完全な対数表を最初から作成するにはどうすればよいでしょうか?どうすればそれができるのか全く想像がつきません。

その後、私はこの偉業を成し遂げることができる魔法の公式について知りました。これは「自然対数」の「自然」の由来を明らかにします。

負の指数の場合、ずらした項が表示されます。

この強力な数式を使用すると、負の無限大から正の無限大までの整数または分数の累乗を含む、任意の実数の累乗の e を任意の精度で計算できます。したがって、自然対数の完全な表を最初から作成し、この表から一般対数を取得することが可能です。

x = 1 とすると、e の式は次のようになります。

さらに、e には多くの驚くべき特性があり、そのいくつかは私たちのパズルの解決に関係しています。しかし、e に本質を与え、対数的および指数的な増加と減少を自然に処理できるようにする特性があります。

この式は、すべての点における e^x の変化率がその値に等しいことを示しています。時間を表す場合、この式は、成長率（-x の場合は減少率）がこれまでに蓄積されたサイズまたは量に等しいことを示します。現実の世界には、一定期間にわたってこのように動作する現象が無数にあり、それらは指数関数的な増加または減少の例であることもわかっています。しかし、実用性を超えて、この e の特性には、真に好奇心を刺激する、美的完璧さと自然さの要素があります。それは道徳的な教訓さえも含んでいます。私はこれを、成長を追求する上で常に完璧なバランスを保ち、獲得したものを超えたり下回ったりしない、禅のような機能だと考えています。

警告: 次のパズルの解答では、このパズルのコラムで通常取り上げられているものよりも、より高度で、より恐ろしそうな数学が扱われます。これらの方程式を見て、目がくらんでしまったとしても心配しないでください。一般的な議論や概念に従うようにしてください。それがどのようにして、なぜ起こったのかに関係なく、皆さんが私たちの謎を解明してくれることを願っています。 BBC のシリーズ「人間の進化」で、ジェイコブ・ブロノフスキーは、ジョン・フォン・ノイマンの数学的研究について語り、数学を読むときには概念的議論の調子に従うことが重要であり、方程式は「オーケストラのベースセクション」にすぎないと述べています。

それでは、パズルの中で e がどのように現れるか調べてみましょう。

パズル1: 分解

質問aの解決策:

前回の記事では、各等しい部分の値が e に最も近づくと、積は最大値に達するというヒントが与えられました。より正確には、等しく分割された値が e の両側にあるときに、2 つの最大の積に到達します。ここで検討しているより小さな日常的な数字の場合、積の最大値は、等しい部分の値が e からの差が最小であるときに達成されます。

質問bの解答:

上記から簡単にわかるように、隣接する 2 つの等分割の値が e からほぼ等距離にある場合、2 つの積は最も近くなり、一方は e より低く、もう一方は e より高くなります。 (これは厳密には関数が e に関して対称である場合にのみ当てはまります。この場合はそうではありませんが、読者の Michel Nizette が見事に説明しているように、この範囲では十分に近いです。)

元の数値が N の場合、これは比率 N/e の小数部分が 0.5 に近づくとき、つまり N/e が 2 つの整数の中間点に近づくときに発生します。したがって、N が 1 から 100 までの N/e の表を作成し、0.5 に最も近い分数を探すと、必要な整数 53 が得られます。53 を e で割ると 19.4976 になり、53 を 19 と 20 に均等に割った結果の差はわずか 0.0013% です。

質問cの解答:

見て！これが e の出現方法であり、最大積が得られます。

これは、e が最適な特性を持っていることを示しています。これは、パズル 2 で説明するように、最大​​値または最小値を見つけるコンテキストで出現することがあります。e のこの特性の基本的なバージョンは、x がすべての正の実数にわたる関数を評価するときに確認できます (これはシュタイナーの問題です)。これらの無限の実数の中で、この関数の最大値に対応する x は e です。関数 x^1/x の最大値は関数 Inx/x の最大値に等しく、後者の導関数は (1-Inx)/x^2 であり、Inx=1、つまり x=e の場合にのみゼロになります。

パズル2: ブラインドデート

読者が指摘したように、これは有名な秘書問題の言い換えです。要点を以下にまとめます。

相続人は、以下の規則に従って、10 人の候補者の中から最適な配偶者を選ばなければなりません。候補者は一人ずつ面接を受け、（最適であると判断された場合）採用されるか、次の候補者が検討される前に不採用となります。拒否された候補者を呼び戻すことはできず、候補者が受け入れられるとプロセスは停止します。プロセスがまだ終了していない場合は、最後の候補者がデフォルトで受け入れられる必要があります。

質問aの解決策:

a.順位に同点がないと仮定した場合、相続人は最良の配偶者を選ぶ可能性を最大化するにはどうすればよいでしょうか。

この状況では、相続人は一定数の候補者を無条件に拒否し（「拒否」段階）、その後「選択段階」に入る必要があります。選択段階では、相続人は残りの候補者の中から、以前に拒否されたすべての候補者よりも順位が高い最初の候補者を選択します。拒否フェーズの長さが一定であれば、最適な候補者を選択できる可能性が最大になります。拒否フェーズが長すぎると（最善の候補者が拒否される可能性が高くなる）、または短すぎると（候補者を適切にランク付けするのに十分な経験がないため、ランクの低い候補者が受け入れられる）、最善の候補者が選ばれる確率は低くなります。

これは「最適停止」[2]問題と呼ばれ、eは最適であるためその解に現れます。候補者の数 n が多数ある場合、最初に拒否される候補者の数は n を e で割った数に等しくなります。

ここでは、n = 10 の場合の確率計算を示します。拒否段階 (r) = 3、つまり 3 人が拒否された場合、答えがどうなるか見てみましょう。

まず、最適な候補者は 10 回の面接のどの時点でも現れる可能性があり、特定の役職に就く確率は 1/10 (1/n) であることに注意してください。各面接対象者の役職 (i) ごとに、この 1/10 に、その役職に最適な候補者が選ばれる確率を掛けます。次に、すべての位置の確率を合計して一般的な式を作成します。

• 最適な候補者が 1 位から 3 位にいる場合、その候補者は自動的に拒否されます。最適な候補者を選択する確率は次のとおりです。

質問bの解答:

b. 2 人が 1 位で同率になる確率が 10% の場合、相続人が最適なパートナーと出会う可能性はどのように変化するでしょうか。

後継者にはトップクラスの候補者が2人いるので、最適な候補者が見つかる可能性が高まります。

質問cの解答:

紀元前これは、解決が e に関連する古典的な問題です。 e が答えにどのように入るのか説明できますか?

このパズルでは、e が 2 回登場します。 n が大きくなるにつれて、最良の選択をする確率と、最初にそれを拒否する人の割合にオイラー数が現れます。

上記で導出した確率式は、r/n (拒否率) に x、(i-1)/n (各 n での増分確率) に p、1/n (ある整数から次の整数への変化率) に dp を代入することで、n→∞ の極限として表すことができます。

したがって、確率の限界は次のようになります。

パズル3: 親密さ

大きな講堂で公演が行われており、カップルのみが入場を許可されていました。カップルが講堂に入ると、隣り合う席をランダムに選びます。どの新婚カップルもこれをやります。その結果、カップルの間に空席ができてしまうケースが多々あります。入場は残り席が 1 つになるまで続けられ、満席になった時点で公演が始まります。

質問aの解決策:

a.座席の増設が停止した場合、何パーセントの座席が空席になると予想されますか?

これらの数字を議席数で割ると空席の割合が分かります。ある読者は、10議席の場合の割合は16.24%、100議席の場合の割合は13.804%、1,000議席の場合の割合は13.561%、6,000議席の場合の割合は13.538%と計算しました。数値が 13.5335…% に近いことがわかります。しかし、これが彼らの目的だとどうしてわかるのでしょうか?なぜなら、それらの関係を計算するには長い時間がかかるからです。

再帰的な関係は素晴らしいですが、それは無限の階段を一歩ずつ登ろうとするようなものです。本当に必要なのは、n のみに依存する閉じた式です。閉じた表現はエレベーターのようなものです。任意のnのボタンを押すと、シューッ！エレベーターで屋上まで直行でき、そこからは果てしない眺めが広がります。

注記

[1] Wolfram Alphaは、以下から入手可能なインテリジェントコンピューティングツールです。

https://www.wolframalpha.com/

[2] 最適停止理論と古典的秘書問題を参照:

https://blog.csdn.net/hilda_Huang/article/details/8099202

この記事は以下から翻訳されています:

日常の数学に潜む超越数

オリジナルリンク:

https://www.quantamagazine.org/why-eulers-number-is-just-the-best-20211124/