フィールズ賞受賞者マーティン・ヘラー氏との対談: 数学研究の喜びはどこから来るのでしょうか?

フィールズ賞受賞者のマーティン・ヘレルが、自身の人生、仕事、そして若い頃の自分に与えたいアドバイスについて語ります。

ベアトリス・テイラー（ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジ、コンピュータサイエンス学部博士課程学生）、ヤコブ・スタイン（ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジ、数学博士研究員）

翻訳 |徐肇慶

7月初旬の暖かい夏の午後、私たちはそれぞれ自宅のノートパソコンの前に座り、マーティン・ヘアラーとのインタビューを待っていました。マーティンは確率解析の分野では有名な専門家であり、数学でもトップクラスの学者の一人であることは間違いないので、私たちは皆少し緊張していました。

画面に通知が表示され、マーティンがオンラインになったことが示されました。彼は私たちに友好的に挨拶し、礼儀正しく明るい態度で私たちを安心させてくれました。マーティンはヘルシンキのガーデン ホテルから遠隔で私たちに話しています。彼は現在、フィンランドで開催される国際数学者会議（ICM）に参加しています。 2022年のフィールズ賞受賞者は近日中にここで発表されます。

国際数学者会議は4年ごとに開催され、フィールズ賞、そろばん賞、カール・フリードリヒ・ガウス賞、チャーン賞が授与されます。会議は当初サンクトペテルブルクで開催される予定だったが、ロシアとウクライナの紛争の影響で、一連の補助会議が他の国で開催されることとなった。マーティン氏は、この会議の企画委員会の委員長および分科会のコーディネーターを務めました。彼の役割は、全体会議のプレゼンテーションに専門家を招待し、会議を並行して行われる分科会へと移行させる手助けをすることでした。マーティン氏が ICM カンファレンスに参加するのは今回が初めてではありません。彼は 2014 年のカンファレンスで、確率偏微分方程式の正則性理論に関する研究によりフィールズ賞を受賞しています。

マーティン・ヘレル写真提供: キング・ミン・ラム撮影

これからの道のりは長く困難だ

フィールズ賞はマーティンの多くの業績の中で最も有名なものでしょうが、マーティンが最初に成功を収めたのは、人気のサウンド編集ソフトウェア パッケージである Amadeus の開発でした。ポッドキャストの作成やオリジナル音楽の制作に使用できます。彼は十代の頃にこのソフトウェアを開発し、賞を受賞した。当時、それは彼が新たに習得したプログラミングスキルを練習し、音楽への愛を満たす完璧な方法のように思えました。 「私は主に、ピンク・フロイド、ダイアー・ストレイツ、ビートルズのようなクラシックなポップ・ロック音楽が好きです。」

アマデウスは後にマーティンの最高傑作として残りましたが、マーティンがどのようにしてこれらすべての作業を完了する時間があったのかは私たちには理解しがたいことです。ソフトウェア開発はフルタイムの仕事であるべきであり、彼はフィールズ賞レベルの数学者であるため、これらすべてを同時に行うことができたのは彼にとって並外れたことです。 「ここ数年、あまり時間がありませんでした」とマーティン氏は率直に語り、最近はソフトウェアのメンテナンスには時間があるものの、「開発のための時間がない」と説明する。マーティンはソフトウェア開発で早い段階で成功を収めましたが、大学でコンピューターサイエンスを学ぶことを考えたことはありますか?

「はい、考えました。学部時代にコンピューターサイエンスを学ばなかったのは、少し傲慢で、なんとなくその分野を理解していると思っていたからだと思います」とマーティンは恥ずかしそうに笑った。

マーティンは学部生として物理学を学ぶことを決意し、物理学科で博士号を取得しました。彼にとって、それは意図的な十代の反抗行為だった。マーティンの父親は数々の栄誉を受けた著名な数学教授だったのだ。しかし、おそらくこれは最も効果的な反抗ではなかったとマーティンは認めており、それでも彼は学部生時代に数学の授業をたくさん受講した。あるいは、ほとんどの大学の数学科で博士号を取得できるとも述べた。
マーティンは博士号を取得した後も、ソフトウェア開発に夢中でした。 「ソフトウェア開発は常にプラン B でした。博士号を取得した後、学術界で働き続けることを決めましたが、学術界で終身在職権のある職を見つけるのは難しいこともわかっていました。そのため、プラン B は、学術界でうまくいかなかった場合はソフトウェア開発を行うというものでした。」

著名な学者が雇用の不安定さについて話すのを聞くのは興味深く、また安心しました。これは多くの博士課程の学生が懸念していることであり、多くのポスドク研究者が対処しなければならない現実だからです。こうした懸念にもかかわらず、マーティンは当時、学術界で働き続けることを選択し、最終的には博士研究員として数学科に異動しました。

マーティンは学問的な仕事がとても好きです。彼にとって、この仕事は数学者であることの最も素晴らしい点の一つだ。「少なくともある程度は、基本的に自分のやりたいことを自由にできるのです。」マーティン氏はさらにこう続けた。「ある意味、学者には上司がいないのです。大学という機関では、公式には学部長かそれに類する人物が常にいますが、彼らがあなたに何をすべきかを指示することはありません。ですから、あなたは自分のやりたいことをかなり自由に行うことができます。私はこの自由が非常に貴重だと思います。」

あらゆる小さなこと

驚くほど長い受賞歴を持つ数学者でありながら、マーティンは時間を惜しまず、親しみやすく、私たちが投げかけるどんな話題でも喜んで議論してくれました。彼が話すのが少し恥ずかしかった唯一のことは、賞そのものについてだった。私たちは彼に、彼の最大の功績や最も誇りに思う賞は何かと尋ね、2021年に受賞したフィールズ賞やブレイクスルー賞について言及するだろうと予想した。しかし彼は、規則性理論を解明すること以上に重要なことは何もないと答えた。

私たちの会話の中で、「問題解決の喜び」という言葉が何度も出てきました。この幸せはどこから来るのでしょうか？それは、理論が構築されたと確信したときでしょうか、それとも難しい問題が解決されたとわかって眉をひそめなくなったときでしょうか、それとも、その研究がもうすぐ出版されるとわかったときでしょうか。

マーティンにとって喜びは、すべてがうまくいき始める最初の段階にあります。 「数日は、必死に書き殴りながら、これが実際にうまくいくかもしれないと自分に言い聞かせようとします。比較的早く、これは可能であり、ある意味では重要であると自分に言い聞かせました。もちろん、物事を理解するにはまだ多くの時間が必要でしたが、それが可能であることはわかっていたので、最後の部分にはそれほど時間がかかりませんでした。」

マーティンの研究は、システムの大規模な動作、特に確率偏微分方程式 (SPDE) を通じて小規模の確率性を理解することに重点を置いています。確率偏微分方程式は、パラメータの一部がランダム変数であるか、方程式の解がランダム変数で表現できる偏微分方程式の一種です。

マーティンが研究した最も有名な確率偏微分方程式の 1 つは、Kardar-Parisi-Zhang 方程式です。下端から燃えている紙を想像してください。遠くに立ってみると、焼けた部分の上端がほぼ予想通りに上方に動いているのがわかります。しかし、近くに立つと、焦げた部分が乱雑でギザギザに見えます。 KPZ方程式は次の状況を説明します。時間tにおける焼けた部分の高さをh(x, t)で表すと、焼けた高さの方程式は次のようになります。

ここで、λとνは紙の可燃性を表す定数です。この方程式の重要な項は η(x,t) であり、これはランダムな「ホワイト ノイズ」です。この項を無視すると、偏微分方程式 (PDE) が得られます。この偏微分方程式はまだ難しいですが、解くことができ、その解には多くの興味深い特性があります。たとえば、偏微分方程式は滑らかな解を持つ場合があります。しかし、ホワイトノイズの存在によりこの問題は複雑になります。何十年もの間、ほとんどの数学者は関数 h(x, t) を解析する方法を知りませんでした。そしてマーティンは、その方程式に意味を成す方法を見つけました。このアプローチは、「無限大から無限大を引く」と要約できます。

翻訳者注: ここで、無限大マイナス無限大は、再正規化手法を指します。たとえば、対数的に増加する 2 つの発散項は、近似プロセス中に互いに打ち消し合い、有限項を取得します。興味のある読者は、2013 年に Annals of Mathematics に掲載された Martin Herrell の KPZ 方程式に関する研究を参照してください。

マーティンの確率偏微分方程式の正則性理論は数学界に衝撃を与えた。彼のアイデアは予想外のものだった。正則性理論が数学界に衝撃を与えた理由の 1 つは、その画期的なアイデアが物理学から生まれたこと、つまり、ランダム偏微分方程式の挙動を理解するために有限のウェーブレット (デジタル ファイルで情報をエンコードするためによく使用される) を使用するというアイデアだったことです。

マーティンの研究は引き続き確率過程に焦点を当てています。彼の現在の研究プロジェクトの 1 つは、単純なルールに従って進化する離散システムを調査することです。 「こうしたものの全体的かつ大規模な動作と、その方法で得られる限界を理解しようとします。ある限界については、人々が力学系についてかなりよく理解していますが、問題が完全に解決されていないケースもあります。この分野ではやるべきことがたくさんあります。これは確率論の領域になるでしょう。この種の問題の最初の結果は中心極限定理でしょう…それは 1700 年代に遡ります。」数学のトレンドについて、マーティン氏は次のように述べた。「これらの分野には常に関心が寄せられてきました。停滞期もあれば、人々が新しい技術を考案し、それによって繁栄する時期もあります。それが数学の発展の仕方です。」

カラフルな靴下を履いたユニークな数学者 撮影：キング・ミン・ラム

私の人生

マーティンは過去 5 年間、インペリアル カレッジ ロンドンの教授を務めており、研究者、博士課程の指導者、最先端の研究に関する修士課程の講演者として頻繁に活動しています。マーティンは、博士課程の学生とキャリア初期の研究者向けに定期的にサマースクールを運営しています。研究者としてのマーティンにとって、サマースクールでコースを教えることは非常に重要です。なぜなら、知識の共有は数学的思考の進歩に不可欠だからです。 「ただ隅っこの方に座って自分のことをやって、誰にも説明しないのなら、あまり意味がないですよね？」

パンデミックが続いた2年間で、数学の教え方、発展の仕方、議論の仕方は大きく変化しました。これらの変化を経て、マーティンは再び直接会えることに興奮しています。 「当初、オンラインセミナーやワークショップに人々は非常に熱心でした。うまくいきました。iPad を使って黒板に書き込んだり、プレゼンテーションを行ったりすることさえできました。」しかし、「すぐに人気がなくなった」と彼は付け加えた。

新しいハイブリッドな働き方には利点があります。海外の研究者との共同作業が容易になり、遠隔地からの会議への出席が容易になり、子供の世話が必要な人やオフィスへの通勤が身体的に困難な人にとっても便利になります。しかし、私たちの多くにとって、数学の楽しみは他の人と一緒に取り組むことにあります。そして、対面での流動的なアイデアの交換はオンラインでは実現が難しいのです。 「オンラインで参加することで、人々とコミュニケーションをとり、数学コミュニティで何が起こっているかを理解することはできますが、ただ聞くだけでは会議の内容を本当に理解することはできません。」

COVID-19パンデミックは数学の将来にどのような影響を与えるでしょうか?マーティン氏は、「発表者がリモートで話すか、直接参加するかを選択できる新しいモデルに向かっているようだ」と語った。このアプローチは、社会的交流と利便性の間で良いバランスを保っているようです。

2014年のアルトゥール・アビラ、マンジュル・バルガヴァ、マリアム・ミルザハニとヘイラー。画像出典: ウィキメディア・コモンズ

一緒に働く

2014年、ハイアールはアルトゥール・アビラ、マンジュル・バルガバ、マリアム・ミルザハニとともにフィールズ賞を受賞した。アビラはフィールズ賞を受賞した最初の南米の数学者です。バーガヴァ氏はこの賞を受賞した初のインド系アメリカ人数学者です。ミルザハニ氏はこの賞を受賞した初の女性数学者となった。これらの賞はフィールズ賞が創設されてから 78 年後に授与されました。私たちのインタビューの後、2022年の受賞者が発表されました：ヒューゴ・デュミニル＝コパン、ジューン・フー、ジェームズ・メイナード、そしてマリーナ・ヴィアゾフスカ（女性としては2人目）です。

科学、技術、工学、数学（STEM）分野、特に数学では、多様性の欠如が常に問題となってきました。マーティン氏は、国際数学者会議には科学分野における性別や少数派グループの代表性を高めるためにもっと努力する責任があると考えていますか?マーティンはこれについて洞察を持っています。 「これは難しい問題だ」と彼は言う。特に科学は性別を超えており、人種、社会経済的地位、文化的背景の面で過小評価されている場合にはなおさらだ。 「これは漏れやすいパイプラインのようなもので、時間の経過とともに女性の数はどんどん減っています。解決策を見つけるのは難しいです。フィールズ賞のような賞で絶対に避けたいのは、何らかの割り当てを設けることです。それでは賞の価値が下がってしまうからです。」

「だから、ゆっくりと発展させていくのが正しいやり方であり、将来的には多様性が増すだろう。」マーティンは数学の分野で女性の代表が増えることに期待を寄せている。 「今回の ICM カンファレンスでは、女性講演者の割合が約 25% ですが、前回のカンファレンスでは約 15% でした。」

ゆっくりとした発展を待つことは、少数民族を支援し、彼らがあらゆる地域に妨げられることなく流入できるようにする特別な構造が整っている場合にのみ効果的です。これは難しい課題です。背景に関係なく、若い頃から数学を学ぶことを奨励し、数学を学ぶことは実現可能なキャリアであると信じるように奨励することが重要です。
振り返ってみると、数学の旅を始めたばかりの 18 歳の自分にマーティンはどんなアドバイスを与えるでしょうか?

「代数学の授業にもっと注意を払うべきだったかもしれない。」さらに重要なことに、マーティンは学部課程を始めたばかりの学生にこうアドバイスしています。「自分の直感に従って、興味のあることをやりなさい。」

マーティン・ヘアラーとの対談、チョークダスト第16号

元記事のアドレス: https://chalkdustmagazine.com/interviews/in-conversation-with-martin-hairer/

制作：中国科学普及協会