生態学者の数学的探究

ユージン・ウィグナーの有名な論文「自然科学における数学の驚くべき有効性」には、タイトルからだけでも 2 つの考えが含まれています。1. 自然を理解するための数学の必要性。 2. 数学的思考を豊かにするための研究対象を抽出する上での自然現象の重要性。カオス理論のアイデアは、さまざまな分野のさまざまな専門家によるさまざまな自然現象の数学的記述の絶え間ない追求から生まれ、最終的にはさまざまな経路を経て同じ結論に達し、統一された理解に到達しました。この記事の目的は、ロジスティック マップを使用して個体群動態の挙動を記述する際に生態学者が発見した周期倍分岐の数学的特性を説明することです。

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

前回の「ファンプ」の記事「イテレーションの意味がきっとわかる」（以下、「イテレーション」）では、最も基本的な関数のイテレーション現象を紹介しました。多項式の単純な支柱を使用して、幾何学的手法と解析的手法を組み合わせて、引力または反発力のある固定点、または周期が 2 の周期点を示しました。これらの基盤が整ったら、私たちは反復の道を歩み続け、途中で色とりどりの花を摘んでいきます。

この記事では、連続した枝が小さな小枝に分岐する反復木に咲く、特に美しいバラの花束を紹介します。また、彼らは「反復春の遠足グループ」のメンバーが混沌とした世界に入る前に秩序から無秩序への旅を体験できるように特別に構築された緩衝装置も提供し、突然混沌としたモンスターを見て叫ぶ前に深呼吸して自分自身を落ち着かせることができます。パラメータが 1 つである一連の二次多項式の庭園に、花全体が咲きます。

しかし、「倍周期フォーク」の赤いバラを美しく咲かせる栄養素は、生物科学のマクロな分野である生態学、つまり個体群動態学とも呼ばれるものから来ています。バラの木に肥料を与えた勤勉な庭師はロバート・メイ（1936-2020）で、後に英国政府の主席科学者を務め、エリザベス女王からナイトの称号を授かった。

バロン・メイはオーストラリアの大都市シドニーで生まれました。彼はシドニー大学で化学工学と理論物理学の学士号を取得したとき、まだ20歳でした。 3年後、彼は博士号を取得しました。同校で理論物理学の博士号を取得し、その後ハーバード大学で2年間ポスドク研究員として応用数学を学びました。母校に戻ってからは元の職業に戻り、主任講師の肩書で教鞭をとり、理論物理学の教授に昇進した。 1971年、彼は突然生物学に魅了され、再びアメリカへ渡りました。彼はプリンストン高等研究所で1年間過ごし、プリンストン大学の生物学者と友人になった。 2年後、彼はこの名門大学の動物学教授になった。

ここで彼は理論生態学者となり、関数の反復に基づく人口動態の独創的な研究で名声を博しました。この学問は「群集生態学」と呼ばれる生物学の一分野に属し、同じ地理的範囲または地域に生息する 2 つ以上の異なる生物集団間の相互依存性と制約、および生物集団の数の変動と生命の盛衰を研究します。目標は、常に変化する数字の背後にある法則、自然界のコミュニティの複雑さと安定性の関係、そして変化の法則を説明できる数学的特徴を見つけることです。

他のすべての自然科学者や技術者と同様に、生態学者も当然ながら数学の助けを必要とします。しかし、深遠な現代数学を駆使して力学システムを研究するフィールズ賞受賞者のスティーブン・スメール（1930年-）のような幾何学者や位相幾何学者にとっては、メイの世界的に有名な研究で使用された数学は非常に単純なものに思えます。実際、彼の最も有名な研究は二次多項式のみを使用していましたが、表現には追加のパラメータが使用されていました。しかし、この異なる曲率を持つ関数族の無限放物線グラフは、ジョーダンの手の中のバスケットボールのように、彼の科学論文をネイチャー誌とサイエンス誌のバスケットの中に投げ込んだ。

ちなみに、1947年には、ポーランドとハンガリー出身のアメリカ人数学者スタニスワフ・ウラム（1909-1984）とジョン・フォン・ノイマン（1903-1957）が、ロジスティック写像族におけるμ = 4のときの最長放物線に関する精密な統計的研究を行い、ほぼすべての初期点に対して同一となる反復点軌道の最終分布法則を与えた。これは、エルゴード理論に関する私の将来の科学一般向け記事に花を添えることになるだろう。

この有名な数学モデルは、個体数の規模の問題に関する生態学者の直感に適合しており、一般の人々にとっても理解しやすいものです。たとえば、強い者が弱い者を捕食するアフリカのサバンナでは、草食のシマウマは弱者であり、肉食のライオンは強い者です。両者の人口は互いに制限し合っています。弱い者が強い者に食べられすぎると、その数は急激に減少し、今度は強い者が生存の危機に直面することになります。したがって、経験上、人口が少なければ、人口は急速に増加します。人口が中程度の場合、成長率はゼロに近づきます。人口が非常に多い場合は、急激に減少します。これは生態学者が研究を行う際に従う基本的な仮定であり、上記のモデルにも反映されています。つまり、x が上昇すると、1-x は低下します。逆に、x が減少すると、1-x は増加するため、それらの積は人口規模の変化を制限します。この機能的関係は、確かに生活環境における個体数規模の変化の法則をある程度反映しているように思われます。

メイ教授がこの分野に入る前、初期の生態学者は、英国の理論進化生物学者で遺伝学者のジョン・スミス（1920-2004）が彼の古典的著作『生物学における数学的思想』で主張した、個体群サイズは多くの場合ほぼ一定であるという見解に概ね​​同意していた。彼らは皆、上記のロジスティック マップでは、初期の人口がどれだけ多いか少ないかに関係なく、数年後には一定数で安定するだろうと多かれ少なかれ信じていました。同時に、彼らは皆、「安定した解決策」だけが魅力的であると信じています。人口規模が安定しないのを見ると、計算ツールのエラーが原因であると考えるでしょう。

科学的実験によって確認されていないこの信念は、多くの科学者の心に深く根付いているため、科学者たちは、退屈な反復計算を忍耐強く繰り返し実行することはおろか、座って特定のモデルについて数学的な分析をしようとはほとんど思っていません。ちょうど10年前の4月、ハーバード大学を退職した著名な生物学者エドワード・ウィルソン（1929-2021）は、ウォールストリート・ジャーナルに「偉大な科学者は数学が得意ではない」と題する記事を書き、自身の経験を基に「今日世界で最も成功している科学者の多くは、数学が半分しかできない」ことを証明しようとした。この記事と、その4日後にバークレー大学の数学教授が書いた「エドワード・ウィルソンの言うことを聞いてはならない」と題する反論記事は、その年の7月にアメリカ数学会誌に転載され、多くの数学者や科学者の間で白熱した議論を巻き起こした。

複数の分野にまたがる科学者として、メイ教授は、伝統的な生物学者が数学を軽蔑しているという上記の代表的な見解に明らかに反対しています。プリンストン大学では、ロジスティックマッピングに関する数値反復実験を始めました。ロジスティック写像のファミリーに数学を根気強く応用したのは、応用数学者であり生態学者でもあったメイ教授でした。彼は自ら反復計算を行うことで、人口動態の分野における新たな驚くべき光景を目にしました。

便宜上、期間は1年であると仮定します。つまり、xが今年の相対人口数を表す場合、μx(1-x)は来年の相対人口数を表します。

メイは、個体群進化の最終的な傾向とこの重要なパラメータとの関係を解明しようと、徐々に再生産率 μ を増加させました。彼はすぐに、μ が 3 を超えなければすべてが正常であることを発見しました。たとえば、パラメータ μ が 1 より大きくない場合、初期の個体数の大きさに関係なく、遅くとも 2 年目以降は個体数は年々減少し、最終的には絶滅します。ただし、μ が 1 より大きく 3 以下の場合、最初にいくつの個体群が存在していても、毎年の反復後に個体群サイズは徐々に安定し、最終的には固定数に近づく傾向があります。この固定数はパラメータが増加するにつれて増加します。たとえば、μ が 2.7 の場合、最終的な人口サイズは 0.6296 に固定され、μ = 3 の場合、最終的な人口サイズは 0.6667 に増加します。

メイはパラメータの値を増やし続けました。

μ が 3 より大きく、1 + √6 の正確な値 (約 3.45) より大きくない場合、彼は新しい現象を発見しました。つまり、個体数はもはや固定数に傾向せず、毎年交互に増減し、最終的には 2 つの異なる固定数の間を行ったり来たりし、最終的には反復の開始時に選択された個体数に関係なく、これら 2 つの周期点で構成される周期 2 の軌道に傾向するようになったのです。

パラメータ値を 3.45 より少し大きくして、約 3.54 に達すると、人口数は 4 年ごとに定期的に変動し、最終的には 4 つの固定数の間を行ったり来たりして、初期の人口数がどれだけ大きくても、最終的にはこれらの 4 つの周期点で構成される周期 4 の軌道に近づくようになります。このようにして、人口数の 2 年周期は 4 年周期に倍増します。

同様に、パラメータ値が 3.54 という小さな数値を超えると、4 年周期が 8 年周期にジャンプします。そして、パラメータ値が少しずつ増加し続けると、16 年周期、32 年周期、… というように無限に続く周期が次々に現れます。すると、μ の新しい値の範囲内で、周期が 2 の累乗ではない新しい周期倍増現象が発生します。ただし、μ が特定のレベルまで増加すると、最終的な個体数サイズは周期性を示さず、「カオス」になる兆候を示します。

上記の段落を数学的な言葉で要約してみましょう。

この限界は、アメリカの数理物理学者ミッチェル・ファイゲンバウム（1944-2019）にちなんで名付けられました。

ファイゲンバウムは博士号を取得した。 1970年にMITで素粒子物理学の博士号を取得し、その後コーネル大学とバージニア工科大学でそれぞれ2年間過ごしました。この4年間で、彼が発表した論文はたった1本でしたが、幅広い知識基盤を蓄積したことは大きな成功だったと言えます。実際、彼が生涯で独自に、あるいは他者と共同で発表した科学論文はわずか 27 本でした。

1974年にアメリカのロスアラモス国立研究所に採用されてからは、乱流における大スケールと小スケールの自己相似性を自分なりに深く理解し、問題の本質を探るため、できるだけ早く論文を書き上げられるかどうかということを完全に無視した。その代わりに、彼は計算機をいじる手と計算の合間に絶えず考える頭脳に頼りながら、1日「25」時間働き、新たな普遍定数を発見した。理論部門の彼の直属の上司は後にこうコメントしている。「ファイゲンバウムは適切な経歴を持ち、適切な時に適切な行動を取り、非常にうまくやりました。彼は部分的なことはせず、全体を理解しました。」

その理由は何でしょうか?

1974 年、メイ教授はメリーランド大学数学科から「バイオ数学講義シリーズ」の講義に招かれ、ロジスティック写像の数値反復中に発見した奇妙な現象について報告しました。スピーチの後、彼が招待した教授が彼を空港まで送ってくれた。途中で、ジェームズ・ヨーク教授（1941-）がメイに論文を手渡した。メイ教授はそれを読んだ後、衝撃を受けました。記事に書かれていた概念が彼の混乱を解決したのです。

当時はまだ草稿に過ぎなかったこの論文は、後にカオスの歴史の中で最も有名な数学論文の一つとなった。現在、そのタイトルは中国語圏では「第三期は混沌を意味する」という定まった翻訳がある。学界で 5,650 回以上引用されているこの 8 ページの数学論文の基本的な解釈は、私が近々執筆する数学の一般向け科学記事の内容となる予定です。

「周期倍分岐」という数学的現象の生態学的な物語が大まかに語られました。しかし、科学的原理の基礎的な理解を伴わずに「科学的発見の逸話」だけを知ることは、アメリカの理論物理学者リチャード・ファインマン（1918-1988）が、子供の頃に父親が息子に特別なアドバイスをした際によく思い出した言葉、「鳥の名前だけ知っていて、その習性について何も知らないなら、その鳥についての理解はほぼゼロだ」という言葉に表されている真実のようなものです。ファインマンは、父親の単純で賢明な考え方が彼の科学者としての生涯に影響を与え、単に物事の名前を知ることと物事の本質を完全に理解することの根本的な違いを幼い頃に理解させたと信じていました。したがって、この記事の最後の部分では数学に目を向け、主にわかりやすい初等数学言語を使用して、前述のロジスティック マッピング ファミリ fμ の 3 つの周期倍分岐特性、再生率 μ がしきい値 3 を超えると周期 2 の軌道が突然出現する理由、および μ の値が 1 + √6 を超える前にこの軌道が魅力的である理由を説明します。

「反復」で述べたように、|a| < 1 の場合、線形関数 ax + b の唯一の固定点 b/(1-a) は吸引的ですが、|a| の場合には、 > 1の場合、b/(1-a)は反発固定点です。ここでの係数 a は、対応する直線グラフの傾きでもあります。任意の微分可能関数 y = f(x) について、点 x におけるその導関数 f'(x) は、点 (x, f(x)) における関数のグラフの接線の傾きです。非線形関数のグラフは曲線ですが、接点の近くでは曲線と接線はほぼ同じに見えます。この観察こそが、微積分が何百年もの間成功し続けてきた基本的な理由です。固定点の「引力」または「反発力」は「関数の導関数」の概念のような「局所的特性」であるため、複雑な曲線の代わりに固定点における関数グラフに接する単純な直線を使用して、関数 f の固定点 x* に「引力」または「反発力」があるかどうかを判断するための数学的ツールを作成できないのはなぜでしょうか。この考え方は、少なくとも、f の固定点 x* が |f'(x*)| を満たすかどうかという、単純で使いやすい判断方法を「思いつく」のに役立ちます。 < 1 の場合、x* は魅力的である必要があります。 |f'(x*)| の場合> 1 の場合、x* は反発している必要があります。この考えはまさに真実です。

なぜ？対角線 y = x との交点付近で比較的平坦な関数曲線を描くと、「グラフ反復法」を使用して上記の主張を幾何学的に証明することは簡単です。しかし、次の「分析的議論」の方が説得力があります。f(x*) = x* かつ |f'(x*)| と仮定します。 < 1 の場合、導関数 f'(x*) は、x が x* に近づくにつれて関数値の差 f(x) – f(x*) と独立変数値の差 x – x* の比の極限となるため、x が x* に近い場合、|f(x) – x*| となると考える理由があります。 ≤ δ |x – x*|、ここで正の数 δ は |f'(x*)| よりわずかに大きいだけですが、|f'(x*)| と同様に 1 未満です。 (たとえば、δ は |f'(x*)| と 1 の算術平均としてとらえることができます。つまり、δ = (|f'(x*)| + 1)/2 です)。

上記の考え方は、f の不動点 x* が |f'(x*)| を満たすことを証明するためにも使用できます。 > 1 の場合、x* は排他的であり、つまり、その近傍にあるそれに等しくないすべての点 x を除外します: |f(x) – x*| ≥ Δ |x – x*|、ここで Δ は 1 より大きい数です。

読者は当然、|f'(x*)| の場合の結論が何なのか疑問に思うでしょう。 = 1. 方法も一般的な結論もなく、「特定の問題を具体的に分析する」ことしかできません。人生と同じように、数学にも後悔はある。高等数学で無限級数の理論を学んだ読者なら、級数が収束するかどうかの基準が与えられた場合、その基準を満たさない級数が必ず存在するという事実を覚えているでしょう。したがって、世の中に「マスターキー」は存在しません。 「世界が認めた最強の学習法！」などという出版社の宣伝文句を見ると、まるで永久機関の発明のニュースを見るときのように思わず笑ってしまいます。

生態学者メイ博士によって史上初めて数値シミュレーションされたこのタイプの単一パラメータ関数族の分岐法則は、力学システムの分野ではピッチフォーク型として鮮やかに呼ばれています。これは、上の分岐図に、反発する周期点を点線で示すと、地方でよく使われる「熊手」のように見え、「周期倍分岐」と切り離せないものとなるからです。ただし、「接線型」と呼ばれる別の分岐現象もあります。これは、パラメータがしきい値を超える前後で、関数のグラフが対角線 y = x を 2 点で交差し、1 点で接し、その後互いに分離するというプロセスを経るという事実に由来します。したがって、固定点の数は 2 から 1 に、そして 0 に減少します。この典型的な例は、パラメータ μ > 0 である指数関数の族 {μex} です。μ = 1/e の場合、関数のグラフは固定点 1 で対角線に接します。μ < 1/e の場合、グラフと対角線は 2 つの点で交差します。 μ > 1/e の場合、関数のグラフは対角線と交差しません。この記事を読んだ後のセルフテストとして、読者の皆さんには、0 < μ < 1/e、μ = 1/e、μ > 1/e の 3 つのケースについてこの指数関数族に「グラフ反復法」を使用し、すべての初期点に対応する反復点軌道の最終方向を予測していただきますようお願いします。

これまでのところ、関数の反復では、固定点を含む、周期が 2 の負でない整数の累乗である周期点のみが発生しました。完全に順序付けられた自然数の中で、3 の次に 2 が続きます。これは特別な自然数です。それは関数の反復の海に大きな波を生み出し、帆船の将来の進路を予測不可能にします。

謝辞: 著者は、最初の草稿を読んで改訂の提案をしてくださった学者のヤン・ユンヤン氏に感謝の意を表します。

制作：中国科学普及協会

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